Question

【题目】已知长方形 ， ， ，以 的中点 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 .

（1）求以 为焦点，且过 两点的椭圆的标准方程；
（2）在(1)的条件下，过点 作直线 与椭圆交于不同的两点 ，设 ，点 坐标为 ，若 ，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得点 的坐标分别为 ， ， .设椭圆的标准方程是 ，则 ，∴ .∴ ，∴椭圆的标准方程为 .

（2）解：由题意容易验证直线 的斜率不为0，故可设直线 的方程为 .代入 中，得 .设 ， ，由根与系数关系，得 ①， ②，∵ ，∴ 且 ，将上式①的平方除以②，得 ，即 ，所以 ，由 ，即 .∵ ， ， ，又 ， .故 .令 ，∵ ，∴ ， ， ，∵ ，∴ ，

【解析】（1）根据题意写出点 E , F , C 的坐标，再结合椭圆的定义求出椭圆的长半轴长a，利用待定系数法写出椭圆方程.
（2）设出直线l的方程代入椭圆方程，结合根与系数关系找到与A、B点坐标之间的关系，再把用直线方程中的参数表示出来，化归为函数的最值问题求解.
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．