Question

已知函数f（x）=

x-a

ax

（a＞0）
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，现已知该函数在（0，+∞）上有两个不等的不动点，求a的取值范围；
（3）若y═

1

x+1

f（x）的值域为{y|y≥9或y≤1}，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）在（0，+∞）上单调递增，运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论等步骤；
（2）令f（x）=x，即有

1

a

=x+

1

x

，求出右边的最小值，即可得到范围；
（3）将函数整理成二次方程的形式，运用判别式不小于0，再由值域可得，1，9是a²y²-（2a+4a²）y+1=0的两根，运用韦达定理，即可得到a．

解答： 解：（1）f（x）在（0，+∞）上单调递增，
理由如下：设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=

m-a

am

-

n-a

na

=

m-n

mn

，由于0＜m＜n，则m-n＜0，mn＞0，则f（m）-f（n）＜0，
即有f（m）＜f（n）．则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）令f（x）=x，即有

1

a

=x+

1

x

，
由于x＞0时，x+

1

x

≥2，当且仅当x=1取最小值2，
则

1

a

＞2，解得0＜a＜

1

2

；
（3）由于y=

1

x+1

•

x-a

ax

，即为ayx²+（ay-1）x+a=0，
由判别式大于等于0，得，（ay-1）²-4a²y≥0，
即有a²y²-（2a+4a²）y+1≥0，
由函数的值域，可知1，9是a²y²-（2a+4a²）y+1=0的两根，
则有1+9=

2a+4a2

a2

，且1×9=

1

a2

，
解得，a=

1

3

．

点评：本题考查函数的单调性的判断，函数的零点的运用，考查运用判别式法求函数的值域，属于中档题．