Question

【题目】函数f（x）=ex﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）
①a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；
②对a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；
③对a＜0，函数f（x）总存在零点；
则上述结论正确的是 ． （写出所有正确的结论的序号）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：对于①，函数f（x）=ex﹣alnx的导数为f′（x）=ex﹣ ，
设切点为（m，f（m）），则e=em﹣ ，em=em﹣alnm，
可取m=1，a=0，则a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；
对于②，a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=ex﹣ ，由x＞0，可得f′（x）＞0，
则导函数无零点，故②正确；
对于③，对a＜0，函数f（x）=ex﹣alnx，
由f（x）=0，可得ex=alnx，
分别画出y=ex和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，
故f（x）总存在零点，故③正确．
所以答案是：①②③．

【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．