Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．
（Ⅰ）证明：平面BAP⊥平面DAP；
（Ⅱ）点M为线段AB（含端点）上一点，设直线MP与平面DCP所成角为α，求sinα的取值范围．

Answer 1

分析 （I）取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC．则四边形CDEO为平行四边形，可通过证明OC⊥平面PAB得出DE⊥平面PAB，于是平面BAP⊥平面DAP；
（II）以O为原点，以OC，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，设BM=a，求出$\overrightarrow{PM}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{n}$＞|，根据a的范围得出sinα的范围．

解答 证明：（I）取PA的中点E，PB的中点O，连接DE，OE，OC．
∵OE是△PAB的中位线，
∴OE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$，
∵CD∥平面PAB，CD?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAB=AB，
∴CD∥AB，又CD=$\frac{1}{2}AB$，
∴OE$\stackrel{∥}{=}$OE，
∴四边形CDEO是平行四边形，
∴DE∥OC．
∵AB⊥平面PBC，OC?平面PBC，
∴AB⊥OC，
∵BC=PC，∴OC⊥PB，
又PB?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PB=B，
∴OC⊥平面PAB，又OC∥DE，
∴DE⊥平面PAB，∵DE?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB．
（II）∵OE∥AB，AB⊥平面PBC，
∴OE⊥平面PBC．
以O为原点，以OC，OB，OE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则P（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（$\sqrt{3}$，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤2），
则$\overrightarrow{PM}$=（0，2，a），$\overrightarrow{CD}$=（0，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，1，0）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{n}}{|PM||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{{a}^{2}+4}}$．∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$．
∴当a=0时，sinα取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当a=2时，sinα取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴sinα的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．