Question

定义:若数列{A_n}满足A_n+1=,则称数列{A_n}为“平方递推数列”.已知数列{a_n}中,a₁=2,点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=2x²+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{2a_n+1}是 “平方递推数列”,且数列{lg(2a_n+1)}为等比数列.
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为T_n,即T_n=(2a₁+1)(2a₂+1)…(2a_n+1),求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式.

Answer 1

(1)见解析  (2) a_n=(-1).   T_n=

(1)由条件得:a_n+1=2+2a_n,
∴2a_n+1+1=4+4a_n+1=(2a_n+1)²,
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”.
∵lg(2a_n+1+1)=2lg(2a_n+1),
∴=2,∴{lg(2a_n+1)}为等比数列.
(2)∵lg(2a₁+1)=lg5,
∴lg(2a_n+1)=lg5·2^n-1,
∴2a_n+1=,∴a_n=(-1).
∵lgT_n=lg(2a₁+1)+lg(2a₂+1)+…+lg(2a_n+1)
==(2ⁿ-1)lg5,
∴T_n=.