Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），函数g（x）的表达式为g（x）=

x+3

x+2

，则方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实数根之和为（　　）

• A、-5
• B、-6
• C、-7
• D、-8

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由y=f（x-2）-1和y=g（x-2）-1的函数式，得到它们都关于点（-2，1）对称，由图象读出即可．

解答： 解：∵f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）
=f（x），
∴f（x-2）-1=

x2，x-2∈[0，1) -x2，x-2∈[-1，0)

，
又g（x）=

x+3

x+2

，则g（x）=1+

1

x+2

，
g（x-2）-1=

1

x

，
故上述两个函数都关于点（-2，1）对称，方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实数根，
即函数y=f（x）和y=g（x）的图象在[-5，1]上的交点的横坐标，由图象可得有3个交点，
设实根由小到大分别为x₁，x₂，x₃，且x₂=-3，x₁+x₃=-4．故所有实根之和为-7．
故选：C．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．