Question

13．已知公差为正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂•a₈=115，S₉=126，数列{b_n}的前n项和${T_n}={2^{n+1}}-2（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和为M_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数前n项和前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能出a_n=3n-1；利用${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由${a}_{n}{b}_{n}=（3n-1）•{2}^{n}$，利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵公差为正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂•a₈=115，S₉=126，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}•{a}_{8}=115}\\{{S}_{9}=\frac{9}{2}（{a}_{2}+{a}_{8}）=126}\end{array}\right.$，
又公差为正数，解得a₂=5，a₈=23，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{a}_{1}+7d=23}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=3，∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1，---（3分）
∵数列{b_n}的前n项和${T_n}={2^{n+1}}-2（n∈{N^*}）$．
∴当n=1时，b₁=T₁=2，---（4分）
当n≥2，n∈N^*时，${b}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+1}-2-（{2}^{n}-2）={2}^{n}$，
n=1时，上式成立，
∴${b}_{n}={2}^{n}$，（n∈N^*）．---（6分）
（Ⅱ）∵${a}_{n}{b}_{n}=（3n-1）•{2}^{n}$，
∴数列{a_n•b_n}的前n项和为：
M_n=2×2+5×2²+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2M_n=2×2²+5×2³+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
M_n=（3n-1）×2ⁿ⁺¹-4-3（2²+2³+…+2ⁿ）
=（3n-1）×2ⁿ⁺¹-4-3×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$
=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．---（12分）

点评 本题考查等差数列、等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列、错位相减法等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．