Question

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为且经过点P（2，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点A斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有BD⊥EQ，若存在，求△AQD的面积的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，理由见解析

【解析】

(1根据离心率得到,将的坐标代入椭圆方程,,即可得到;

(2) 设直线AE：y＝k（x+4），不妨设k＞0，E（0，4k），D（m，n），Q（c，d）,联立直线与椭圆,根据韦达定理求得,再根据垂直以及的任意性可得的坐标,再根据面积公式求得面积,再根据基本不等式求得最大值.

（1）e，设a＝2k，c＝k，则b，k＞0，

点P（2，）代入方程得，，解得k＝2，

所以a＝4，b，所以椭圆的方程为；

（2）如图所示:

设直线AE：y＝k（x+4），不妨设k＞0，E（0，4k），D（m，n），Q（c，d）

直线AE：y＝k（x+4）与椭圆联立，消去y，得（4k2+3）x2+32k2x+4（16k2﹣12）＝0，

由﹣4m，得m，n＝k（m+4），

由BD⊥EQ，（m﹣4，n）（c，d﹣4k）＝0，得c（m﹣4）+n（d﹣4k）＝0，

即c0，化简得4k（c+3）﹣3d＝0，

由k的任意性（k≠0），c＝﹣3，d＝0，所以Q（﹣3，0），

S△AQD，当且仅当k时，取等号，

故当k时，△AQD的面积的最大值为．