Question

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（2$\sqrt{3}$，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得2b=a，将点（2$\sqrt{3}$，1），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用两点之间的距离公式，求得丨PM丨²=（x-2）²+y²，由P在椭圆上，则y²=4-$\frac{{x}^{2}}{4}$，代入利用二次函数的性质，即可求得|PM|的最小值及P点坐标．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：2b=a，
将（2$\sqrt{3}$，1）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：b²=4，a²=16，
∴椭圆E的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由丨PM丨²=（x-2）²+y²，由P（x，y）在椭圆上，（-4≤x≤4）则y²=4-$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴丨PM丨²=x²-4x+4+4-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}$x-4x+8=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{8}{3}$）+$\frac{8}{3}$，
∴当x=-$\frac{8}{3}$时，丨PM丨取最小值，最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴当x=-$\frac{8}{3}$，解得：y=±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴|PM|的最小值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，P点的坐标（-$\frac{8}{3}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，两点之间的距离公式，二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．