Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝a_n－1(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)在数列{b_n}中，b₁＝5，b_n＋1＝b_n＋a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

 (1)当n＝1时，S₁＝a₁＝a₁－1，所以a₁＝2.

∵S_n＝a_n－1，①

∴当n≥2时，S_n－1＝a_n－1－1，②

①－②，得a_n＝(a_n－1)－(a_n－1－1)，

所以a_n＝3a_n－1，又a₁≠0，故a_n－1≠0，

所以＝3，

故数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，

所以a_n＝2·3^n－1.

(2)由(1)知b_n＋1＝b_n＋2·3^n－1.

当n≥2时，b_n＝b_n－1＋2·3^n－2，

…

b₃＝b₂＋2·3¹，

b₂＝b₁＋2·3⁰，

将以上n－1个式子相加并整理，得b_n＝b₁＋2×(3^n－2＋…＋3¹＋3⁰)＝5＋2×＝3^n－1＋4.

当n＝1时，3^1－1＋4＝5＝b₁，

所以b_n＝3^n－1＋4(n∈N^*)．