Question

已知x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=1，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、-4＜m＜2
• B、-2＜m＜4
• C、m≥4或m≤-2
• D、m≥2或m≤-4

Answer 1

考点：基本不等式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由

2

x

+

1

y

=1，可得x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）=4+

x

y

+4

y

x

，利用基本不等式可求x+2y得最小值，而x+2y＞m²+2m恒成立?m²+2m＜（x+2y）_min，据此求出m的取值范围即可．

解答： 解：由

2

x

+

1

y

=1，可得x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）=4+

x

y

+4

y

x

≥4+2

x y •4 y x

=8，
而x+2y＞m²+2m恒成立?m²+2m＜（x+2y）_min，
所以m²+2m＜8恒成立，
即m²+2m-8＜0恒成立，
解得-4＜m＜2．
故选：A．

点评：此题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题，考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立?m≤f（x）的最小值（m≥f（x）恒成立?m≥f（x）的最大值）．