Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求证：{b_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求证：{b_n}是等比数列．

解答 解：（1）∵点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$═$\frac{1}{2}$n+$\frac{11}{2}$，
即S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，
则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n-[$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{11}{2}$（n-1）]=n+5，
即数列{a_n}的通项公式a_n=n+5；
证明：（2）∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{{2}^{{a}_{n-1}}}={2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}={2}^{1}=2$为常数，
故{b_n}是等比数列．

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的判断，利用数列的递推公式是解决本题的关键．