Question

11．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h₁，且$\frac{h_1}{h}$=$\frac{1}{3}$，若将圆锥倒置，水面高为h₂，则$\frac{h_2}{h}$等于$\frac{\root{3}{19}}{3}$．

Answer 1

分析 根据水的体积不变列出方程解出h₂．

解答 解：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为$\frac{4}{9}S$．
∴水的体积V=$\frac{1}{3}$Sh-$\frac{1}{3}$×$\frac{4}{9}S$×（h-h₁）=$\frac{19}{81}Sh$．
设倒置后液面面积为S′，则$\frac{S′}{S}$=（$\frac{{h}_{2}}{h}$）²，∴S′=$\frac{S{{h}_{2}}^{2}}{{h}^{2}}$．
∴水的体积V=$\frac{1}{3}S′{h}_{2}$=$\frac{S{{h}_{2}}^{3}}{3{h}^{2}}$．
∴$\frac{S{{h}_{2}}^{3}}{3{h}^{2}}$=$\frac{19}{81}Sh$，解得h₂=$\frac{\root{3}{19}h}{3}$．
∴$\frac{{h}_{2}}{h}$=$\frac{\root{3}{19}}{3}$．
故答案为：$\frac{\root{3}{19}}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于中档题．