Question

15．已知点P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△F₁PF₂的内心，若2（S${\;}_{△P{F}_{1}I}$-S${\;}_{△P{F}_{2}I}$）=S${\;}_{△{F}_{1}{F}_{2}I}$，则该双曲线的离心率是2．

Answer 1

分析 由I为△F₁PF₂的内心，可知I到三角形三边距离都相等，由2（${S}_{△P{F}_{1}I}$-${S}_{△P{F}_{2}I}$）=${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}I}$，根据三角形的面积公式可得2（丨PF₁丨•r-丨PF₂丨•r）=丨F₁F₂丨•r，求得2（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=丨F₁F₂丨，根据双曲线的定义可得：丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，丨F₁F₂丨=2c，则c=2a，利用离心率公式e=$\frac{c}{a}$即可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵I为△F₁PF₂的内心，
∴I到三角形三边距离都相等，设内切圆半径r，
∴2（${S}_{△P{F}_{1}I}$-${S}_{△P{F}_{2}I}$）=${S}_{△{F}_{1}{F}_{2}I}$，
∴2（丨PF₁丨•r-丨PF₂丨•r）=丨F₁F₂丨•r，
2（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=丨F₁F₂丨，
∵丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a，丨F₁F₂丨=2c，
∴2a=c，即c=2a，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，离心率公式及三角形内心的性质，考查计算能力，属于中档题．