Question

如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB//CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA₁＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.

(1)证明：BE⊥平面BB₁C₁C；

(2)求点B₁ 到平面EA₁C₁ 的距离．

Answer 1

[解析]　(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则

BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.

在Rt△BFE中，BE＝.

在Rt△CFB中，BC＝.

在△BEC中，因为BE²＋BC²＝9＝EC²，故BE⊥BC.

由BB₁⊥平面ABCD得BE⊥BB₁，

所以BE⊥平面BB₁C₁C.

(2)连接B₁E，则三棱锥E－A₁B₁C₁的体积V＝AA₁·S△A₁B₁C₁＝.

在Rt△A₁D₁C₁中，A₁C₁＝＝3.

同理，EC₁＝＝3.

A₁E＝＝2，

故S△A₁C₁E＝3.

设点B₁到平面EA₁C₁的距离为d，

则三棱锥B₁－A₁C₁E的体积

V＝·d·S△A₁C₁E＝d，

从而d＝，d＝.