Question

12．已知S_n={A|A=（a₁，a₂，…，a_n），a_i=0或1，i=0，1，2，…，n}，对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U，V中相对应的元素不同的个数．
（1）令U={1，1，1，1，1，1}，存在m个V∈S₆，使得d（U，V）=2，则m=15；
（2）若一确定U∈S_n的，对于任意的V∈S_n，则所有d（U，V）之和为n•2^n-1．

Answer 1

分析 （1）根据V∈S₆，d（U，V）=2及d（U，V）的意义：表示U和V中相对应的元素不同的个数，可知m=C₆²；
（2）易知S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个然后求和即可．

解答 解：（1）∵V∈S₆，d（U，V）=2，
∴m=C₆²=15，即m=15；
故答案是：15；
（2）易知S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），
∵b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|=n•2^n-1，
∴d（U，V）=n•2^n-1．
故答案为：n•2^n-1．

点评 此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是2012或2013，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是2012或2013，第二个定义d（U，V），正确理解这两个定义是解答的关键．