Question

5．求极限：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx-{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}}{{x}^{2}[x+ln（1-x）]}$．

Answer 1

分析 利用泰勒公式可知cosx=1-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{24}$x⁴、${e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}$=1-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$$（\frac{{x}^{2}}{2}）^{2}$、ln（1-x）=（-x）-$\frac{1}{2}$（-x）²，代入计算即得结论．

解答 解：由泰勒公式可知cosx=1-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{24}$x⁴，
${e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}$=1-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$$（\frac{{x}^{2}}{2}）^{2}$，
ln（1-x）=（-x）-$\frac{1}{2}$（-x）²，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx-{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}}{{x}^{2}[x+ln（1-x）]}$=$\frac{1-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{24}{x}^{4}-1+\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{8}{x}^{4}}{{x}^{2}（x-x-\frac{1}{2}{x}^{2}）}$
=$\frac{\frac{1}{6}{x}^{4}}{{x}^{2}（-\frac{1}{2}{x}^{2}）}$
=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查极限及其运算，利用泰勒公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．