Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（x≤-1）}\\{sin\frac{π}{2}x，（-1＜x＜2）}\\{10lo{g}_{4}x，（x≥2）}\end{array}\right.$．
（1）求f（1），f[f（-2）]的值；
（2）若f（a）=10，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（x≤-1）}\\{sin\frac{π}{2}x，（-1＜x＜2）}\\{10lo{g}_{4}x，（x≥2）}\end{array}\right.$，将x=1，x=-2代入计算，可得答案；
（2）根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（x≤-1）}\\{sin\frac{π}{2}x，（-1＜x＜2）}\\{10lo{g}_{4}x，（x≥2）}\end{array}\right.$，分类讨论满足f（a）=10的a值，综合讨论结果，可得答案；

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，（x≤-1）}\\{sin\frac{π}{2}x，（-1＜x＜2）}\\{10lo{g}_{4}x，（x≥2）}\end{array}\right.$
∴$f（1）=sin\frac{π}{2}=1$（2分）
f[f（-2）]=f（4）=10；（6分）
（2）$当a≤-1时，{a^2}=10，a=-\sqrt{10}或a=\sqrt{10}（舍去）$．$a=-\sqrt{10}$，（8分）
$当-1＜a＜2时，sin\frac{πa}{2}=10$，不合题意，舍去； （10分）
当a≥2时，10log₄a=10，a=4合题意；．（11分）
∴$a=-\sqrt{10}或a=4$．（12分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．