Question

已知中心在原点，一焦点为F（0，

50

）的椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为

1

2

．
（1）求此椭圆的方程；
（2）过定点M（0，9）的直线与椭圆有交点，求直线的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆为

x2

b2

+

y2

a2

=1，由已知条件推导出a²=b²+50，

6b2

a2+9b2

=

1

2

，由此能求出椭圆．
（2）设过定点M（0，9）的直线为l，若斜率k不存在，直线l方程为x=0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5

3

）和下顶点（0，-5

3

）；若斜率k存在，直线l的方程为：y=kx+9，k≠0，代入椭圆方程，由△≥0，能求出直线的斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆中心在原点，一焦点为F（0，

50

），
∴设椭圆为

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0），
a²=b²+c²=b²+50，①
把y=3x-2代入椭圆方程，得
a²x²+b²（3x-2）²=a²b²，
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
∵椭圆被直线l：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为

1

2

，
∴

6b2

a2+9b2

=

1

2

，整理，得a²=3b²，②
由①②解得：a²=75，b²=25，
∴椭圆为：

x2

25

+

y2

75

=1．
（2）设过定点M（0，9）的直线为l，
①若斜率k不存在，直线l方程为x=0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5

3

）和下顶点（0，-5

3

）；
②若斜率k=0，直线l方程为y=9，与椭圆无交点；
③若斜率k存在且不为0时，直线l的方程为：y=kx+9，k≠0
联立

y=kx+9 x2 25 + y2 75 =1

，得（3+k²）x²+18kx+6=0，
△=（18k）²-24（3+k²）≥0，
解得k≥

6

5

或k≤-

6

5

．
综上所述：直线的斜率k的取值范围k≥

6

5

或k≤-

6

5

或k不存在．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．