Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=$\sqrt{15}$，PD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P-BC-A所成的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出BD．推出△ABD是直角三角形，AD⊥BD，然后证明PD⊥BD．可证明BD⊥平面PAD．
（2）说明平面PAD⊥平面ABCD．作PE⊥AD于E，说明∠PDE是PD与底面BCD所成的角，作EF⊥BC于F，连PF，说明∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．然后求解二面角P-BC-A所成的平面角的正切值．

解答 （本小题满分12分）
解  （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=4+16-2×2×4×$\frac{1}{2}$=12．
AB²=AD²+BD²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，

即AD⊥BD
在△PDB中，PD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{15}$，BD=$\sqrt{12}$，
∴PB²=PD²+BD²，故得PD⊥BD．
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．
（2）∵BD⊥平面PAD，BD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=$\sqrt{3}$•$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．
又EF=BD=$\sqrt{12}$，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=$\frac{PE}{EF}$=$\frac{{\frac{3}{2}}}{{2\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
故二面角P-BC-A所成的平面角的正切值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面市场价以及二面角，考查计算能力空间想象能力．