Question

已知△ABC的周长为

2

+1，且sinA+sinB=

2

sinc，角A、B、C所对的边为a、b、c．
（1）求AB的长；
（2）若△ABC的面积为

1

6

sinc求角C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，结合周长求出c的值即可；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出ab的值，与a+b的值联立求出a²+b²的值，利用余弦定理表示出cosC，把c，ab，a²+b²的值代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答： 解（1）把sinA+sinB=

2

sinC，利用正弦定理化简得：a+b=

2

c，
∵a+b+c=

2

+1，
∴

2

c+c=

2

+1，
∴c=1；
（2）∵S=

1

2

absinC=

1

6

sinC，
∴ab=

1

3

，
联立得：

ab= 1 3 a+b= 2

，
得到a²+b²=（a+b）²-2ab=2-

2

3

=

4

3

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4 3 -1

2 3

=

1

2

，
则C=

π

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．