Question

已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（

OA

+

OB

）•（

OA

+

OC

）=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得

OA

+

OB

=2

OD

，

OA

+

OC

=2

OE

．求得∠AOD=∠AOE=

π

3

，再根据OD=OE=

3

6

，利用两个向量的数量积的定义求得（

OA

+

OB

）•（

OA

+

OC

）的值．

解答： 解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得

OA

+

OB

=2

OD

，

OA

+

OC

=2

OE

．
而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=

π

3

，同理可得，∠AOE=

π

3

．
再根据OD=OE=

1

3

•

3

2

=

3

6

，可得（

OA

+

OB

）•（

OA

+

OC

）=2•

OD

•2

OE

=4

OD

•

OE

=4×

3

6

×

3

6

×cos

2π

3

=-

1

6

，
故答案为：-

1

6

．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．