Question

已知函数f（x）=x³-3x²-9x+a．
（Ⅰ）求f（x）=的单调区间及极值；
（Ⅱ）若f（x）在[-2，2]上有最小值-20，求f（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求导数，令导数为零，求出根后列表，则单调区间、极值点一目了然；
（2）利用闭区间上的最值得求法来求，即先求极值，再求端点值，大中取大，小中取小．

解答： 答案解析解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
令 f′（x）=0，解得x=-1或x=3，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值a+5	↘	极小值a-27	↗

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（3，+∞）；单调递减区间为（-1，3）．
在x=-1时，f（x）有极大值5+a，在x=3时，f（x）有极小值-27+a．
（2）∵f（-2）=-2+a，f（2）=-22+a．
∴f（-2）＞f（2）∴最小值f（2）=-22+a=-20，
∴a=2，
故最大值f（-1）=5+a=7．

点评：利用导数求极值一般采用列表法．