Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=a，${a_{n+1}}=（2|{sin\frac{nπ}{2}}|-1）{a_n}+2n$．
（Ⅰ）请写出a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，不必证明；
（Ⅲ）请利用（Ⅱ）中猜想的结论，求数列{a_n}的前120项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用递推关系可求得a₂，a₃，a₄，a₅．
（Ⅱ）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=4k-3}\\{a+2，n=4k-2}\\{-a+2，n=4k-1}\\{-a+8，n=4k}\end{array}\right.$（其中k∈N*）．       
（Ⅲ）由（II）利用分组求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）可求得a₂=a+2，a₃=-a+2，a₄=-a+8，a₅=a．
（Ⅱ）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{a，n=4k-3}\\{a+2，n=4k-2}\\{-a+2，n=4k-1}\\{-a+8，n=4k}\end{array}\right.$（其中k∈N*）．（每段1分）        
（Ⅲ）s₁₂₀=30a+（30a+2+10+…+234）+（-30a+2×30）+（-30a+8+16+…+240）…（10分）
=（2+10+…+234）+（2×30）+（8+16+…+240）
=$\frac{30×（2+234）}{2}$+60+$\frac{30}{2}×（8+240）$=10860．

点评 本小题主要考查不完全周期数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，属于中档题．