Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，AD=DC=3，BC=2，$PD=\sqrt{2}PA=\sqrt{6}$，点F在棱PG上，且FC=2FP，点E在棱AD上，且PA∥平面BEF．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-EB-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC交EB于点G，推导出PA∥FG，从而CG=2GA，由△GBC～△GEA，得EA=1，ED=2，推导出PE⊥AD，由此能证明PE⊥平面ABCD．
（2）以EA，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-EB-F的余弦值．

解答 证明：（1）如图连接AC交EB于点G，
因为PA∥平面EFB，所以PA∥FG，
由FC=2FP，所以CG=2GA，
又△GBC～△GEA，所以BC=2EA，
所以EA=1，ED=2，
又因为PA²+PD²=AD²，所以△APD是直角三角形，
又$\frac{DE}{EA}={（\frac{PD}{PA}）^2}$，所以PE⊥AD，
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD．
解：（2）因为DE=BC，DE∥BC，所以BE∥CD，
又EA⊥EB，如图，以EA，EB，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，3，0），C（-2，3，0），
$PE=\sqrt{P{A^2}-A{E^2}}=\sqrt{2}$，所以$P（0，0，\sqrt{2}）$，
所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}=（0，0，\sqrt{2}）+（-\frac{2}{3}，1，-\frac{{\sqrt{2}}}{3}）$=$（-\frac{2}{3}，1，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}）$，
设平面EFB的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{EF}⇒-\frac{2}{3}x+y+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}z=0$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{EB}⇒y=0$，
令z=1，则$x=\sqrt{2}$，所以$\overrightarrow n=（\sqrt{2}，0，1）$，
又因为平面PEB的法向量$\overrightarrow{EA}=（1，0，0）$，
所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{EA}＞=\frac{{\sqrt{2}}}{{1×\sqrt{2+1}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即所求二面角的余弦值是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．