Question

3．已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的$x∈[0，\frac{π}{2}]$，f（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^x•cosx，$x∈[-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}]$．过点$M（\frac{π-1}{2}，0）$作函数F（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和S的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，问题转化为当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，g（x）_min≥0，根据函数的单调性求出k的范围即可；
（3）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，根据三角函数的性质求出S的值即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）={e^x}（sinx+cosx）=\sqrt{2}{e^x}sin（x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的增区间为$[2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}]$（k∈Z）；
减区间为$[2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}]$（k∈Z）．…（4分）
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx
要使f（x）≥kx恒成立，只需当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，g（x）_min≥0，
∵g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k
令h（x）=e^x（sinx+cosx），则h'（x）=2e^xcosx≥0对$x∈[0，\frac{π}{2}]$恒成立，
∴h（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上是增函数，则$h（x）∈[1，{e^{\frac{π}{2}}}]$，
①当k≤1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上为增函数，
∴g（x）_min=g（0）=0，∴k≤1满足题意；
②当$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$时，g'（x）=0在$[0，\frac{π}{2}]$上有实根x₀，h（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上是增函数，
则当x∈[0，x₀）时，g'（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合题意；
③当$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$时，g'（x）≤0恒成立，g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0不符合题意，∴k≤1，即k∈（-∞，1]．…（8分）
（3）∵F（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx）∴F'（x）=2e^xcosx，
设切点坐标为$（{x_0}，{e^{x_0}}（sin{x_0}+cos{x_0}））$，则切线斜率为$F'（{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}$，
从而切线方程为$y-{e^{x_0}}（sin{x_0}+cos{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}（x-{x_0}）$，
∴$-{e^{x_0}}（sin{x_0}+cos{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}（\frac{π-1}{2}-{x_0}）$$?tan{x_0}=2（{x_0}-\frac{π}{2}）$，
令y₁=tanx，${y_2}=2（x-\frac{π}{2}）$，这两个函数的图象均关于点$（\frac{π}{2}，0）$对称，
则它们交点的横坐标也关于$x=\frac{π}{2}$对称，
从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{x_n}的项也关于$x=\frac{π}{2}$成对出现，
又在$[-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}]$共有1008对，每对和为π．
∴S=1008π．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查三角函数的性质以及转化思想，是一道综合题．