Question

已知函数f（x）=

1-x

1+x

，x∈（-1，1）．
（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（-1，1）上是单调减函数；
（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x²-3x+2）对于任意x∈（-1，1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义法设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，做差f（x₁）-f（x₂），证明其大于0即可，
（2）先利用二次函数的性质判断在（-1，1）上，y=x²-3x+2＞0，不等式两边同时除以x²-3x+2，将恒成立问题转化为函数最值问题求解．

解答： 解：（1）证明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
又∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂，
∴（1+x₁）（1+x₂）＞0，
x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在x∈（-1，1）上是单调减函数．
（2）∵y=x²-3x+2=（x-2）（x-1）在（-1，1）上单调递减且恒有y＞0，
不等式f（x）≥a（x²-3x+2）对于任意x∈（-1，1）恒成立，
即为a≤

f(x)

x2-3x+2

，对于任意x∈（-1，1）恒成立，
令g（x）=

f(x)

x2-3x+2

=

1-x 1+x

(x-2)(x-1)

=

1

-(x+1)(x-2)

，
当x=

1

2

时取得最小值，g（

1

2

）=

4

9

，
所以a的取值范围是a≤

4

9

．

点评：本题考察定义法证明函数的单调性以及恒成立问题的转化，尤其是恒成立问题转化为最值问题，是解决恒成立问题的常用方法．