Question

13．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=120°，C为OB的中点，AC的延长线交⊙O于点D，连接BD，则弦BD的长为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• D． $\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Answer 1

分析 在△OAC中，运用余弦定理可得AC，cos∠ACO，延长CO交圆于E，再由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，求得CD，再在△BCD中，运用余弦定理可得BD的长．

解答 解：在△OAC中，OA=2，OC=1，∠AOC=120°，
可得AC²=OA²+OC²-2OA•OC•cos∠AOC
=4+1-2•2•1•cos120°=5+2=7，
即AC=$\sqrt{7}$，
cos∠ACO=$\frac{A{C}^{2}+C{O}^{2}-A{O}^{2}}{2AC•CO}$=$\frac{7+1-4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
延长CO交圆于E，
由圆的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，
即CD=$\frac{BC•CE}{AC}$=$\frac{1×3}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
在△BCD中，BD²=BC²+DC²-2BC•DC•cos∠BCD
=1+$\frac{9}{7}$-2•1•$\frac{3\sqrt{7}}{7}$•$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{4}{7}$．
可得BD=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查圆的相交弦定理，三角形的余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题．