Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是 菱形，AC=6，$BD=6\sqrt{3}$，E是PB上任意一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）当△AEC的面积最小时，求证：CE⊥面PAB
（3）当△AEC的面积最小值为9时，问：线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，设AC与BD相交于点F，推导出AC⊥BD，PD⊥AC，从而AC⊥平面PDB，由此能证明AC⊥DE．
（2）连结EF，推导出AC⊥EF，EF⊥PB，PB⊥AC，从而PB⊥平面AEC，进而PB⊥EC，再求出EC⊥AE，由此能证明EC⊥平面PAB．
（3）求出EF=3作GH∥CE交PB于点G，推导出∠GEH就是EG与平面PAB所成角，由此能求出存在满足题意的点G，且BG=4．

解答 证明：（1）连接BD，设AC与BD相交于点F
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，
又∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE．--------------（4分）
（2）连结EF，由（I）知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，
∴AC⊥EF．∵${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}AC•EF$，且AC=6
当△ACE面积最小时，EF最小，这时EF⊥PB．-------（6分）
∵AC⊥平面PDB，∴PB⊥AC，
又∵EF∩AC=F，∴PB⊥平面AEC，∴PB⊥EC，----------------（7分）
又由 EF=AF=FC=3，可得 EC⊥AE，---------（8分）
而PB∩AE=E，
故EC⊥平面PAB．---------------------（9分）
解：（3）由已知，${（{{S_{△ACE}}}）_{min}}=\frac{1}{2}×6×EF=9$，解得EF=3
作GH∥CE交PB于点G，由（2）知EC⊥平面PAB，
∴GH⊥平面PAB，
∴∠GEH就是EG与平面PAB所成角，----------------------（12分）
在直角三角形CEB中，$BC=6，\;EC=3\sqrt{2}\;，\;EB=3\sqrt{2}$
∴∠CBE=45°
设BG=x，则$BH=HG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
由tan∠GEH=2得 $EH=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x$．
由EH+HB=EB得 x=4
即存在满足题意的点G，且BG=4．----------（14分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．