Question

17．已知函数f（x）=ax+xlnx+1（a∈R），g（x）=xcosx-$\frac{1}{2}{x^3}$+1；
（Ⅰ） 当a=-1时，设L为曲线y=g（x）在x=0处的切线，判断L是否为曲线y=f（x）的切线？并说明理由；
（Ⅱ）若x≥1，总有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，假设该切线也为f（x）的切线，设出切点，求得f（x）的导数，由斜率求得切点，验证是否满足切线l即可；
（Ⅱ）f（x）≥g（x），即为a≥cosx-$\frac{1}{2}$x²-lnx对x≥1恒成立．构造函数，求出导数，运用正弦函数的值域和基本不等式可得单调性，可得函数的最大值，令a不小于最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=xcosx-$\frac{1}{2}{x^3}$+1的导数为g′（x）=cosx-xsinx-$\frac{3}{2}$x²，
曲线y=g（x）在x=0处的切线斜率为1，切点为（0，1），
即有切线l的方程为y=x+1，
若L为曲线y=f（x）的切线，设切点为（m，n），
f′（x）=lnx，即有lnm=1，解得m=e，
切点为（e，1），不满足切线l的方程．
则L不为曲线y=f（x）的切线；
（Ⅱ）f（x）≥g（x），即为
ax+xlnx+1≥xcosx-$\frac{1}{2}{x^3}$+1，
即为a≥cosx-$\frac{1}{2}$x²-lnx对x≥1恒成立．
设h（x）=cosx-$\frac{1}{2}$x²-lnx，x≥1，
则h′（x）=-sinx-（x+$\frac{1}{x}$），
由-1≤-sinx≤1，x+$\frac{1}{x}$≥2，
-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，
可得-sinx-（x+$\frac{1}{x}$）＜0，
即有h′（x）＜0对x≥1恒成立，
即h（x）在x≥1递减．
即有x=1处取得最大值，且为cos1-$\frac{1}{2}$，
则a≥cos1-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、最值，考查函数的单调性的运用，同时考查化简运算能力，属于中档题．