【题目】已知曲线C1:ρ=1,曲线C2:(t为参数)
(1)求C1与C2交点的坐标;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′与C2′,写出C1′与C2′的参数方程,C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同,说明你的理由.
【答案】(1)(﹣,
)(2)见解析
【解析】
(1)结合,计算
方程,对于
,可以消去参数t,得到普通方程,联立两个方程,得到交点坐标,即可。(2)实际上将
的y乘以
,利用第一题的思想,计算参数方程,联解两曲线的普通方程,判定
,即可。
(1)∵曲线C1:ρ=1,∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1,
∴C1是以原点为圆心,以1为半径的圆,
∵曲线C2:(t为参数),∴C2的普通方程为x﹣y+
=0,是直线,
联立,解得x=﹣
,y=
.
∴C2与C1只有一个公共点:(﹣,
).
(2)压缩后的参数方程分别为
:
(θ为参数)
:
(t为参数),
化为普通方程为::x2+4y2=1,
:y=
,
联立消元得,
其判别式,
∴压缩后的直线与椭圆
仍然只有一个公共点,和C1与C2公共点个数相同.
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【题目】如图,四边形是正方形,
平面
,
,
,
,
,
分别为
,
,
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小;
(3)在线段上是否存在一点
,使直线
与直线
所成的角为
?若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是2017年第一季度中国某五省情况图,则下列陈述正确的是( )
①2017年第一季度 总量高于4000亿元的省份共有3个;
②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的总量均实现了增长;
③去年同期的总量前三位依次是
省、
省、
省;
④2016年同期省的
总量居于第四位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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【题目】设函数是定义在
上的偶函数,当
时,
).
(1)当时,求
的解析式;
(2)若,试判断
的上单调性,并证明你的结论;
(3)是否存在,使得当
时,
有最大值
.
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【题目】已知抛物线:
,焦点为
,其准线与
轴交于点
.椭圆
:分别以
、
为左、右焦点,其离心率
,且抛物线
和椭圆
的一个交点记为
.
(1)当时,求椭圆
的标准方程;
(2)在(1)的条件下,若直线经过椭圆
的右焦点
,且与抛物线
相交于
,
两点,若弦长
等于
的周长,求直线
的方程.
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【题目】在等腰中,
,腰长为
,
、
分别是边
、
的中点,将
沿
翻折,得到四棱锥
,且
为棱
中点,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)在线段上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求二面角
的余弦值,若不存在,请说明理由.
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【题目】以下结论错误的是( )
A.命题“若,则
”的逆否命题为“若
,则
”
B.命题“”是“
”的充分条件
C.命题“若,则
有实根”的逆命题为真命题
D.命题“,则
或
”的否命题是“
,则
且
”
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