Question

在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．

Answer 1

解　猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．

证明如下：设P为正三棱锥A—BCD底面上任一点，点P到平面ABC、ACD、ABD的距离分别为h₁、h₂、h₃，以侧面ABC为底时对应的高为h，则：

V_P—ABC＋V_P—ACD＋V_P—ABD＝V_D—ABC.

即：S_△ABC·h₁＋S_△ACD·h₂＋S_△ABD·h₃

＝S_△ABC·h.

∵S_△ABC＝S_△ACD＝S_△ABD

∴h₁＋h₂＋h₃＝h，此即要证的结论．