Question

10．已知函数f（x）=lnx+x与$g（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+ax-1$（a＞0）的图象有且只有一个公共点，则a所在的区间为（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$
• B． $（\frac{2}{3}，1）$
• C． $（\frac{3}{2}，2）$
• D． $（1，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 设T（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$-ax+1，T′（x）=（x+1）•$\frac{1}{x}$•（1-ax），推导出T（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，由此利用分类讨论思想能求出a所在的区间．

解答 解：设T（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-$\frac{1}{2}a{x}^{2}$-ax+1，
在x＞0时，有且仅有1个零点，
T′（x）=$\frac{1}{x}+1-ax-a$=$\frac{x+1}{x}$-a（x+1）
=（x+1）（$\frac{1}{x}-a$）
=（x+1）•$\frac{1}{x}$•（1-ax），
∵a＞0，x＞0，∴T（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，如右图，
当x→0时，T（x）→∞，x→+∞时，T（x）→-∞，
∴$T（\frac{1}{a}）=0$，
即ln$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}•\frac{1}{a}$-1+1=0，
∴ln$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2a}$=0，
∴lnx+$\frac{1}{2x}$在x＞0上单调，
∴$ln\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}=0$在a＞0上最多有1个零点，
a=1时，$ln\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2a}$=$\frac{1}{2}$＞0，
a=2时，$ln\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2a}$＜0，
$a=\frac{3}{2}$时，$ln\frac{1}{a}+\frac{1}{2a}$＜0，
∴a∈（1，$\frac{3}{2}$）．
故选：D．

点评 本题考查实数值取值区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．