已知函数.
(1)若,求函数的极小值;
(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
(1)极小值为2;(2)不存在,详见解析.
解析试题分析:(1)由a=4,得函数f(x)的解析式,求出其导函数以及导数为0的根,通过比较两根的大小找到函数的单调区间,进而求出f(x)的极小值;(2)若定义域内存在三个不同的自变量的取值xi(i=1,2,3),使得f(xi)-g(xi)的值恰好都相等,设f(xi)-g(xi)=m.(i=1,2,3),则对于某一实数m,方程f(x)-g(x)=m在(0,+∞)上有三个不等的实数,由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值xi(i=1,2,3)使得f(xi)-g(xi)的值恰好都相等.
解:(1)定义域为,由已知得, 2分
则当时,在上是减函数,
当时,在上是增函数,
故函数的极小值为. 6分
(2)若存在,设,
则对于某一实数方程在上有三个不等的实根,
设,
则函数的图象与x轴有三个不同交点,
即在有两个不同的零点.9分
显然在上至多只有一个零点
则函数的图象与x轴至多有两个不同交点,则这样的不存在。 13分
考点:1.函数在某点取得极值的条件;2.根的存在性及根的个数判断.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
水库的蓄水量随时间而变化,现用表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于的近似函数关系式为
(1)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份(),同一年内哪几个月份是枯水期?
(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取计算).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)求f(x)的反函数的图象上图象上,点(1,0)处的切线方程;
(2)证明: 曲线y =" f" (x)与曲线有唯一公共点.
(3)设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
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已知函数.
(1)当时,求函数在点(1,1)处的切线方程;
(2)若在y轴的左侧,函数的图象恒在的导函数图象的上方,求k的取值范围;
(3)当k≤-l时,求函数在[k,l]上的最小值m。
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