Question

如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，

求证：（1）; （2）平面

Answer 1

(1)详见解析；（2）详见解析.

试题分析：（1）证明两条直线垂直，只需证明直线和平面垂直，由题知面，从而，又，面，从而；（2）证明直线和平面平行，一般有两种方法，其一利用直线和平面平行的判定定理（在平面内找一条直线和已知直线平行）；其二利用面面平行的性质（如果两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线和另一个平面平行），设，连接，则∥，从而说明平面.
试题解析：（1）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，又由于AC平面ABC，所以CC₁⊥AC.
又因为AC⊥BC  BC平面BCC₁B₁  CC₁平面BCC₁B₁  BC₁CC₁=C,所以AC⊥平面BCC₁B₁，又因为BC₁平面BCC₁B₁ 所以AC⊥BC₁     5分
（2）设BC₁B₁C=O，连OD，则O为BC₁中点,又∵D是AB中点，∴OD是△ABC₁的中位线，∴OD∥AC_1,，又∵OD平面B₁CD₁, AC₁平面B₁CD ∴AC₁∥平面B₁CD               10分