Question

给出下列命题，其中正确的命题是

 

（把所有正确的命题的选项都填上）．
①函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x₀∈R均有f′（x₀）＞0成立．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
④若P为双曲线x²-

y2

9

=1上一点，F₁、F₂为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6
⑤已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为

π

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型

分析：对于①，令x-2=t，则2-x=-t，由y=f（t）和y=f（-t）的对称性，从而得到函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象的对称；
对于②，可举反例，函数y=x³，即可判断；
对于③，考虑侧面的一侧棱和底面的一底边相等，即可判断；
对于④，讨论P的位置在左支上，还是在右支上，结合双曲线上的点到焦点距离的最小值，判断出P为右支上一点，再由双曲线的定义，即可求出|PF₁|；
对于⑤，由函数为偶函数，应用诱导公式得，θ=

π

2

，再根据其图象与直线y=2的交点，求出ωx=2kπ，再根据|x₁-x₂|的最小值为π，取k=0，k=1，求出ω．

解答： 解：对于①，令x-2=t，则2-x=-t，则y=f（t）和y=f（-t）关于直线t=0对称，即关于直线x=2对称，
故①正确；
对于②，在R上连续的函数f（x），若是增函数，则对任意x₀∈R均有f′（x₀）≥0成立，
比如f（x）=x³，f′（x）≥0，故②错；
对于③，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，故③错；
对于④，若P为双曲线x²-

y2

9

=1上一点，F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，且|PF₂|=4，若P在左支上，
则|PF₂|的最小值为

10

+1＞4，故P在右支上，|PF₁|-|PF₂|=2，故|PF₁|=6，故④错；
对于⑤，函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，则由诱导公式得，θ=

π

2

时，
y=2sin（ωx+

π

2

）=2cos（ωx）为偶函数，又其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁，x₂，
即cos（ωx）=1，ωx=2kπ，x=

2kπ

ω

，若|x₁-x₂|的最小值为π则可取k=0，1，
即有

2π

ω

=π，ω=2，故⑤正确．
故答案为：①⑤．

点评：本题以命题的真假为载体，考查两函数图象的对称和导数与单调性的关系，以及双曲线的定义及应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．