Question

已知函数f（x）=x-（a+1）lnx-

a

x

（a∈R），g（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜1时，若存在x₁∈[1，2]，使得对任意的x₂∈[1，2]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）将不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立，转化为求出函数的最值关系，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的都为（0，+∞），
则f′（x）=1-

a+1

x

+

a

x2

=

x2-(a+1)x+a

x2

=

(x-a)(x-1)

x2

，
①若a≤0，由f′（x）＞0，得x＞1．此时函数单调递增，即增区间为（1，+∞），
由f′（x）＜0，得0＜x＜1．此时函数单调递减，即减区间为（0，1），
②若0＜a＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或0＜x＜a．此时函数单调递增，即增区间为（1，+∞），（0，a），
由f′（x）＜0，得a＜x＜1．此时函数单调递减，即减区间为（a，1），
③若a=1时，f′（x）≥0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）；
④若a＞1，由f′（x）＞0，得x＞a或0＜x＜1．此时函数单调递增，即增区间为（a，+∞），（0，1），
由f′（x）＜0，得1＜x＜a．此时函数单调递减，即减区间为（1，a）．
（Ⅱ）当a＜1时，若存在x₁∈[1，2]，使得对任意的x₂∈[1，2]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，
则f（x）_min＜g（x）_min
由Ⅰ知，f（x）在[1，2]上为增函数，则f（x）_min=f（1）=1-a，
∵g（x）=

x

ex

．
∴g′（x）=

1-x

ex

≤0，即g（x）在[1，2]上为减函数，
则g（x）_min=g（2）=

2

e2

，
故1-a＜

2

e2

，即1-

2

e2

＜a＜1．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，求出函数的导数，根据导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．
注意要对a进行分类讨论．