Question

【题目】（1）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程；

（2）求与圆外切于点且半径为的圆的方程.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为，据此可得圆心，半径，则所求圆的方程为.

(2)圆的标准方程为，得该圆圆心为，半径为，两圆连心线斜率.设所求圆心为，结合弦长公式可得，.则圆的方程为.

试题解析：

（1）过点且与直线垂直的直线为，

由 .

即圆心，半径，

所求圆的方程为.

（2）圆方程化为，得该圆圆心为，半径为，故两圆连心线斜率.设所求圆心为，

，∴，

，∴.

∴.

点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】如图所示，平面，点在以为直径的上，，，点为线段的中点，点在弧上，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面平面；

（3）设二面角的大小为，求的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】试题分析：

（1）由△ABC中位线的性质可得，则平面.由线面平行的判断定理可得平面.结合面面平行的判断定理可得平面.

（2）由圆的性质可得，由线面垂直的性质可得，据此可知平面.利用面面垂直的判断定理可得平面平面.

（3）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.结合空间几何关系计算可得平面的法向量，平面的一个法向量，则.由图可知为锐角，故.

试题解析：

（1）证明：因为点为线段的中点，点为线段的中点，

所以，因为平面，平面，所以平面.

因为，且平面，平面，所以平面.

因为平面，平面，，

所以平面平面.

（2）证明：因为点在以为直径的上，所以，即.

因为平面，平面，所以.

因为平面，平面，，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（3）解：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

因为，，所以，.

延长交于点.因为，

所以，，.

所以，，，.

所以，.

设平面的法向量.

因为，所以，即.

令，则，.

所以.

同理可求平面的一个法向量.

所以.由图可知为锐角，所以.