Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；
(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值.

Answer 1

详见解析；直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值.

试题分析：先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标 代入满足椭圆方程即可; 先讨论直线MN的斜率不存在时的情况；再讨论斜率存在时，用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立，用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3或1，又当b=1时，直线GM与直线GN的斜率之积为0，所以舍去.从而证明出MN过定点（0，-3）.最后算出点到直线的距离及MN的距离，得出△GMN面积是一个关于的代数式，由及知：，用换元法利用基本不等式求出△GMN面积的最大值是.
试题解析：（Ⅰ）∵，∴，              1分
又  则直线的方程为       ①     2分

又 则直线的方程为          ②
由①②得
∵
∴直线与的交点在椭圆上              4分
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设
不妨取 ∴ ,不合题意     5分
②当直线的斜率存在时，设 

联立方程 得

则
      7分
又
即
将代入上式得
解得或（舍）
∴直线过定点                      10分
∴，点到直线的距离为
∴
由及知：，令 即
∴ 当且仅当时，  13分