Question

若f（x）=-

1

2

（x-2）²+blnx在（1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的概念及应用

分析：求出原函数的导函数，由f（x）在（1，+∞）上是减函数，则其导函数在（1，+∞）上小于等于0恒成立，由此可以求得b的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=-

1

2

（x-2）²+blnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=-（x-2）+

b

x

=

-x2+2x+b

x

，
∵f（x）=-

1

2

（x-2）²+blnx在（1，+∞）上是减函数，
∴f′（x）=

-x2+2x+b

x

≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，
∴-x²+2x+b≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，
即b≤x²-2x=（x-1）²-1
所以b≤-1．
即b的范围为（-∞-1]
故答案为：（-∞-1]

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．