Question

已知函数f（x）=log_a（x²-4x+3），求：
（1）函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）的值域、定义域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数的定义域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=x²-4x+3=（x-2）²-1＞0，求得函数的定义域，且f（x）=log_at．分当a＞1时、当0＜a＜1时两种情况，分别求出函数t在定义域内的单调区间，可得函数f（x）的单调区间．
（2）令对数的真数大于零，求得x的范围，即是函数的定义域；由于真数能取遍所有的正实数，可得f（x）的值域为R．

解答： 解：（1）令t=x²-4x+3=（x-2）²-1＞0，求得x＜1，或 x＞3，
故函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），且f（x）=log_at．
当a＞1时，由于函数t的减区间为（-∞，1），
故函数f（x）的减区间为（-∞，-1）；
由于函数t的增区间为（3，-∞），故函数f（x）的增区间为（3，+∞）．
当0＜a＜1时，由于函数t的减区间为（-∞，1），
故函数f（x）的增区间为（-∞，-1）；
由于函数t的增区间为（3，-∞），故函数f（x）的减区间为（3，+∞）．
（2）∵函数f（x）=log_a（x²-4x+3），
∴x²-4x+3＞0，求得x＜1，或 x＞3，
故函数的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞）．
由于t=x²-4x+3=（x-1）（x-3）能取遍所有的正实数，
故f（x）=log_a（x²-4x+3）的值域为R．

点评：本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．