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(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若数列 
求数列的通项公式;
(Ⅲ)若数列满足是数列的前项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)=1;(2) (3).

解析试题分析:(1)由f(x)+f(1-x)= =1,能得到f()+f( )=1.由此规律求值即可
(2)由an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)(n∈N*),知an=f(1)+f()+f()+…+f()+f(0)(n∈N*),由倒序相加法能得到an
(3)由bn=2n+1•an,知bn=(n+1)•2n,由Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,利用错位相减法能求出Sn=n•2n+1,要使得不等式knSn>4bn恒成立,即kn2-2n-2>0对于一切的n∈N*恒成立,由此能够证明当k>4时,不等式knSn>bn对于一切的n∈N*恒成立.
解:(1)=+=+=1
(2)∵    ①
 ②
由(Ⅰ),知=1
∴①+②,得 
(3)∵,∴ 
,      ①
, ②
①-②得 
  要使得不等式恒成立,即对于一切的恒成立,
法一:对一切的恒成立,

是单调递增的, ∴的最小值为
,  ∴.
法二:.  设
时,由于对称轴直线,且 ,而函数 是增函数,    ∴不等式恒成立
即当时,不等式对于一切的恒成立
考点:本试题主要考查了数列、不等式知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
点评:解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用.

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3

 
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