(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若数列 ,
求数列的通项公式;
(Ⅲ)若数列满足,是数列的前项和,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)=1;(2) (3).
解析试题分析:(1)由f(x)+f(1-x)= =1,能得到f()+f( )=1.由此规律求值即可
(2)由an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)(n∈N*),知an=f(1)+f()+f()+…+f()+f(0)(n∈N*),由倒序相加法能得到an
(3)由bn=2n+1•an,知bn=(n+1)•2n,由Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,利用错位相减法能求出Sn=n•2n+1,要使得不等式knSn>4bn恒成立,即kn2-2n-2>0对于一切的n∈N*恒成立,由此能够证明当k>4时,不等式knSn>bn对于一切的n∈N*恒成立.
解:(1)=+=+=1
(2)∵ ①
∴ ②
由(Ⅰ),知=1
∴①+②,得
(3)∵,∴
∴, ①
, ②
①-②得
即 要使得不等式恒成立,即对于一切的恒成立,
法一:对一切的恒成立,
令,
∵在是单调递增的, ∴的最小值为
∴=, ∴.
法二:. 设
当时,由于对称轴直线,且 ,而函数在 是增函数, ∴不等式恒成立
即当时,不等式对于一切的恒成立
考点:本试题主要考查了数列、不等式知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
点评:解题时要注意倒序相加法、错位相减法的灵活运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
14分)某出版社新出版一本高考复习用书,该书的成本为5元/本,经销过程中每本书需付给代理商m元(1≤m≤3)的劳务费,且出版的书可全部销售完. 经出版社研究决定,新书投放市场后定价为元/本(9≤≤11),预计一年的销售量为万本.
(1)求该出版社一年的利润(万元)与每本书的定价的函数关系式;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题12分)
某市居民生活用水收费标准如下:
用水量(吨) | 每吨收费标准(元) |
不超过吨部分 | |
超过吨不超过吨部分 | 3 |
超过吨部分 |
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