Question

6．已知集合A={x∈R|（x+a）（x²+ax+1）=0}．
（1）是否存在实数a，使得a∈A？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2）若集合A有且仅有两个元素，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）要使a∈A，即（a+a）（a²+a²+1）=0有解，解方程即可；
（2）集合A有且仅有两个元素，得到集合中方程（x+a）（x²+ax+1）=0有两个不等实根，分析其解的情况，得到a 的取值．

解答 解：（1）已知集合A={x∈R|（x+a）（x²+ax+1）=0}．要使a∈A，即（a+a）（a²+a²+1）=0有解，解得a=0；所以存在实数a=0，使得a∈A；
（2）若集合A有且仅有两个元素，说明方程（x+a）（x²+ax+1）=0有两个不等实根，所以①x+a=0且x²+ax+1=0有两个不等于-a的相等实根；解得a=2或-2；
②x²+ax+1=0有两个不相等的实根，其中的一个根为-a；此情况不合题意；
故实数a的取值集合{2，-2}．

点评 本题考查了元素与集合关系；关键是由题意，正确分析集合中方程解的情况．