Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=（n+1）b_n，其中{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=

1

an(2bn+5)

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式可得b_n，再利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴Sn=2n2+n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-1-[2（n-1）²+（n-1）-1]=4n-1．
∴an=

2(n=1) 4n-1(n≥2)

．
（2）由（1）可得：c1=

1

14

，当n≥2时cn=

1

4

(

1

4n-1

-

1

4n+3

)．

∴Tn= 1 14 + 1 4 ( 1 7 - 1 11 + 1 11 - 1 15 +…+ 1 4n-1 - 1 4n+3 ) = 1 14 + 1 4 ( 1 7 - 1 4n+3 )= 3 28 - 1 4(4n+3)

综上：Tn=

3

28

-

1

4(4n+3)

(n∈N*)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．