Question

15．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=3n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件得a_n=2S_n-1+1（n≥2），与条件式相减可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，再验证$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$即可得{a_n}为等比数列，从而求出通项公式；
（Ⅱ）化简得b_n=（3n-1）•3^n-1，使用错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n+1，∴a_n=2S_n-1+1，（n≥2），
两式相减得：a_n+1-a_n=2a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3．
又n=1时，a₂=2a₁+1=3，∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$，
∴{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=3^n-1．
（Ⅱ）b_n=（3n-1）a_n=（3n-1）•3^n-1，
∴T_n=2•3⁰+5•3¹+8•3²+…+（3n-1）•3^n-1，①
∴3T_n=2•3¹+5•3²+8•3³+…+（3n-1）•3ⁿ，②
∴-2T_n=2+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ-（3n-1）•3ⁿ
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-1-（3n-1）•3ⁿ=（$\frac{5}{2}-3n$）•3ⁿ-$\frac{5}{2}$，
∴T_n=（$\frac{3n}{2}$-$\frac{5}{4}$）•3ⁿ+$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法数列求和，属于中档题．