如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.离心率为$\frac{1}{2}$.两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上.且位于第一象限.过点F1作直线PF1的垂线l1.过点F2作直线PF2的垂线l2．(1)求椭圆E的标准方程,(2)若直线l1.l2的交点Q在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F₁作直线PF₁的垂线l₁，过点F₂作直线PF₂的垂线l₂．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l₁，l₂的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

分析（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±$\frac{2{a}^{2}}{c}$，则2×$\frac{2{a}^{2}}{c}$=8，即可求得a和c的值，则b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（2）设P点坐标，分别求得直线PF₂的斜率及直线PF₁的斜率，则即可求得l₂及l₁的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y₀²=x₀²-1，联立即可求得P点坐标；
方法二：设P（m，n），当m≠1时，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{n}{m-1}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{n}{m+1}$，求得直线l₁及l₁的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得$\frac{{m}^{2}-1}{n}$=±n²，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．

解答解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，由2×$\frac{{a}^{2}}{c}$=8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）方法一：设P（x₀，y₀），则直线PF₂的斜率${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
则直线l₂的斜率k₂=-$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$，直线l₂的方程y=-$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$（x-1），
直线PF₁的斜率${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
则直线l₂的斜率k₁=-$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$，直线l₁的方程y=-$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}（x-1）}\\{y=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}（x+1）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-{x}_{0}}\\{y=\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，则Q（-x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}$），
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y₀=$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}$，
∴y₀²=x₀²-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{{y}_{0}^{2}={x}_{0}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}=\frac{16}{7}}\\{{y}_{0}^{2}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=±\frac{4\sqrt{7}}{7}}\\{{y}_{0}=±\frac{3\sqrt{7}}{7}}\end{array}\right.$，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{7}}{7}$）．

方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m=1时，${k}_{P{F}_{2}}$不存在，解得：Q与F₁重合，不满足题意，
当m≠1时，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{n}{m-1}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{n}{m+1}$，
由l₁⊥PF₁，l₂⊥PF₂，则${k}_{{l}_{1}}$=-$\frac{m+1}{n}$，${k}_{{l}_{2}}$=-$\frac{m-1}{n}$，
直线l₁的方程y=-$\frac{m+1}{n}$（x+1），①直线l₂的方程y=-$\frac{m-1}{n}$（x-1），②
联立解得：x=-m，则Q（-m，$\frac{{m}^{2}-1}{n}$），
由Q在椭圆方程，由对称性可得：$\frac{{m}^{2}-1}{n}$=±n²，
即m²-n²=1，或m²+n²=1，
由P（m，n），在椭圆方程，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-1={n}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{16}{7}}\\{{n}^{2}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}={n}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，无解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{7}}{7}$）．

点评本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

3．下列说法中错误的是（　　）

	A．	总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样
	B．	系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本
	C．	百货商场的抓奖活动是抽签法
	D．	整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

4．设函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{3}$），则下列结论错误的是（　　）

	A．	f（x）的一个周期为-2π		B．	y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{8π}{3}$对称
	C．	f（x+π）的一个零点为x=$\frac{π}{6}$		D．	f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）单调递减

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

1．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：

P（K²≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

8．等比数列{a_n}的各项均为实数，其前n项为S_n，已知S₃=$\frac{7}{4}$，S₆=$\frac{63}{4}$，则a₈=32．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

18．

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA₁=$\sqrt{3}$，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A₁B与AC₁所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A₁D-A的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

5．已知曲线C₁：y=cosx，C₂：y=sin（2x+$\frac{2π}{3}$），则下面结论正确的是（　　）

	A．	把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到曲线C₂
	B．	把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到曲线C₂
	C．	把C₁上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到曲线C₂
	D．	把C₁上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到曲线C₂