Question

3．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+lnx有极值，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，2）
• C． （-∞，2）∪（2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出导函数，函数的定义域x＞0．利用导函数的极值与0的关系，列出不等式求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+lnx，可得f′（x）=x-a+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，（x＞0）．
因为函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+lnx有极值，所以导函数的极小值小于0，g（x）=x²-ax+1在（0，+∞）函数值有负值，
当a≤0时，必须g（0）＜0不成立；当a＞0时，对称轴x=$\frac{a}{2}$，满足（$\frac{a}{2}$）²-a$•\frac{a}{2}$+1＜0，解得a∈（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．