Question

已知向量

m

=(sin(A-B)，2cosA)，

n

=(1，cos(

π

2

-B))，且

m

•

n

=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=

2 3

3

sinC，且S△ABC=4

3

，求c．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦定理的应用,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）A、B、C为△ABC的内角，利用向量数量积的坐标运算可求得

m

•

n

=sin（A+B），与已知

m

•

n

=-2sin2C联立，即可求得角C的大小；
（Ⅱ）利用正弦定理知，a+b=

2 3

3

c；由S_△ABC=

1

2

absinC=4

3

可得ab=16，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC即可求得c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（sin（A-B），2cosA），

n

=（1，cos（

π

2

-B）），
∴

m

•

n

=sin（A-B）+2cosA•cos（

π

2

-B）=sin（A+B），
又∵

m

•

n

=-2sin2C，
∴sin（A+B）=-sin2C，
∵sin（A+B）=sinC，
∴sinC=-sin2C=-2sinCcosC，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴cosC=-

1

2

，
又∵0＜C＜π，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵sinA+sinB=

2 3

3

sinC，由正弦定理得a+b=

2 3

3

c，（1）；
S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

ab•

3

2

=4

3

，得ab=16，（2）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得c²=a²+b²+ab，（3）
由（1）（2）（3）可得c=4

3

．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题．