Question

如图，过椭圆L的左顶点A（-3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l₁，l₂分别交椭圆于C，D，又l₁交y轴于M，l₂交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM是直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆L的标准方程；
（Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）求|OP|的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（-3，0）和下顶点B，求出b的值，即可求椭圆L的标准方程；
（Ⅱ）（i）设两直线l₁，l₂的方程分别为y=k（x+3）和y=kx-1，求出C，D的坐标，可得P的坐标，即可得到存在实数λ，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）确定P的轨迹方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：由题意，
∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（-3，0）和下顶点B
∴

0+b

-3

=-

1

3

，
∴b=1，
∴椭圆L的标准方程为

x2

9

+y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设两直线l₁，l₂的方程分别为y=k（x+3）和y=kx-1，其中k≠0，则M（0，3k），N（

1

k

，0）．
y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k²）x²+54k²x+81k²-9=0，
方程一根为-3，则由韦达定理可得另一根为

3-27k2

1+9k2

，
∴C（

3-27k2

1+9k2

，

6k

1+9k2

）．
同理D（

18k

1+9k2

，

9k2-1

1+9k2

）
∵两直线l₁，l₂平行，
∴可设

MP

=t

MN

，

CP

=t

CD

，从而可得P（

3

1+3k

，

3k

1+3k

）
∴

OP

=（

3

1+3k

，

3k

1+3k

）
∵

AM

=（3，3k），
∴存在实数λ=1+3k，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）∵

OP

=（

3

1+3k

，

3k

1+3k

），
∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y-3=0，
∴|OP|的最小值为d=

|-3|

10

=

3 10

10

∴|OP|的取值范围为[

3 10

10

，+∞）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．