Question

求证：方程x²+ax+1=0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞

3

，这个条件是其充分条件吗？为什么？

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：先求出该方程的两实根的平方和大于3时a的取值范围：|a|＞

5

，然后判断|a|＞

5

和|a|＞

3

的关系即可．

解答： 解：设方程x²+ax+1=0的两根是x₁，x₂，该方程两根的平方和大于3则：

a2-4≥0 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2＞3

，解得|a|＞

5

；
∵|a|＞

5

一定得到|a|＞

3

，而|a|＞

3

并不一定得到|a|＞

5

；
∴|a|＞

3

是|a|＞

5

的必要不充分条件，即方程x²+ax+1=0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞

3

，这个条件不是其充分条件．

点评：考查一元二次方程的根和判别式的关系，韦达定理，充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．